脆性材料粉碎机理的分形研究
更新时间：2015-11-24
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郁可 郑中山 任中京
（山东建材学院基础部）
摘 要:应用分形几何理论，研究了脆性材料在冲击粉碎方式下形成颗粒的粒度分布特征，发现在双对数坐标下，颗粒粒径的质量累积百分含量与粒径之间呈直线关系，表明其粒度分布具有分形结构。根据该直线的斜率b，由公式D=3-b可求得相应的分维。分维可作为描述粒度分布特征的一个序参量，其值反映了分布的离散趋势和颗粒的均匀程度，并在量度材料强度和估测颗粒级配等方面有重要意义。
关键词：脆性材料，粉碎机理，粒度分布，分维。
ABSTRACT: In this paper, the grain distribution characteristics of powder, which is ground by impulse , are studied by the fractal geometry. It is found that there is a linear relationship between the accumulative mass percentage and the grain size in the log-log plot , and it shows that the distribution of powder has fractal structure . The slope b in the plot can be used to calculate the relative fractal dimension D by the equation D=3～b. D may be taken as a ordered parameter, which describes the grain distribution characteristics of powder. The value of D reflects the scatter trend of distribution as well as the uniformity of grains and it has great significance in measuring the strength of materials and estimating the grain distribution of powder, etc.
KEY WORDS:brittleness materials, grind mechanism, grain distribution, fractal dimension
绝大多数材料，在形成、演化过程中由于受各种随机因素的影响，其内部结构存在着大量不同尺度、不同类型，并且呈无序分布的微缺陷，本文统称为裂纹。在冲击加载情况下，这些裂纹的周围将产生应力集中，使其生长、扩展和贯通，无序性也被强烈地放大。对于脆性材料（如各种岩石、煤、石英石等）。实验表明，裂纹的分布和演化在一定标度范围内具有很好的统计自相似性，而这种自相似行为导致了材料宏观粉碎后所形成颗粒（或碎块）的粒度分布呈分形分布。
1颗粒粒度呈分形分布的微观机理
裂纹在几何上的非规则性是脆性材料的共同特征，但其分布可以看成是在不同层次、不同尺度并且按某种规则构造的裂纹嵌套[1,2]，即第k+1步的小裂纹是第k步大裂纹群基础上连续生成的子群，从而构成一个统计自相似的分布系统，因而可以用线性分形来模拟这种非规则性现象。当材料受连续冲击载荷时，裂纹在生长区内将进行触发一扩展一触发链式生长模型的演化。从而使嵌套尺寸、层次不断扩大和增加，而整体裂纹分布的分维D不变。
文献[3]表明，在一定范围内，裂纹分布的统计自相似特征，在尺频关系上可用分形的基本关系—幂律关系很好地描述。即根据分形的定义为
式中n表示裂纹尺寸大于、等于α的裂纹数；nσ为试样中裂纹总数；α0为裂纹核尺寸或晶粒尺寸；D是裂纹分布的分维。以上是基于在断裂力学中常将裂纹简化为二维平面上一条直线来处理的考虑。当材料负载时，裂纹将扩展、贯通，且伴有新裂纹生成，但由于其演化的统计自相似性，仍有类似式（1）的关系式。
在重复粉碎（或循环加载）过程中，假定材料中的低层次大裂纹比高层次小裂纹优先贯通断裂，那么在第k 阶段有nk个大于、等于尺寸ymin的贯通裂纹断裂，则：
式中ymin为此阶段材料的zui小贯通裂纹尺寸，nσk为此阶段试样中裂纹总数。
由此而产生的颗粒（或碎块）总数Nk为：
ymin可看作此阶段产生的zui小颗粒尺寸xmin，因此：
进一步可推出此阶段粉碎之后，颗粒粒度分布为：
进一步可推出此阶段粉碎之后，颗粒粒度分布为：
式中N为颗粒尺寸大于、等于x的颗粒数，C为比例常数。
此阶段小于尺寸x的颗粒数占总颗粒数的比率YN（x）为：
通常材料粉碎是指对粒度和形状不同的颗粒体集团的作用，但终究还是以单个颗粒体的破碎为基础。从上面的推导可以看出，每一阶段粉碎之后的颗粒粒度分布均呈分形分布，并且只与颗粒体中的裂纹分布有关，而与给料的原始粒度分布无关[4]。对某一粉碎试样，可能包含着各种不同粒度的原始颗粒体，但这些颗粒体裂纹分布结构均可视为一样，其分维D相同。故在重复粉碎过程的不同阶段，产品颗粒粒度分布的分维值不变，都应等于裂纹分布的分维。
2颗粒粒度分布分维的推导
根据式（5）有：
尺度在x～x+dx之间的粒子数目dN表示为：
若忽略各粒级间颗粒密度ρ的差异，尺寸在x～x+dx之间的粒子质量dW 可写成：
式中Kv是体积形状因子。另外dW还可直接写成
若忽略各粒级间颗粒密度ρ的差异，尺寸在x～x+dx之间的粒子质量dW 可写成：
式中Kv是体积形状因子。另外dW还可直接写成
这里W为全体颗粒的总质量； YW（x） 是小于尺寸x的颗粒总质量占全体颗粒总质量的比率。
由式（8）和式（9），则：
将式（6）代入式（10），可得：
对上式积分得：
所以，如果颗粒的粒度分布满足：
即在双对数坐标下YW（x）-x存在直线段，就表明颗粒的粒度分布是分形分布，据其斜率b，就可求得粒度分布的分维值为
所以，如果颗粒的粒度分布满足：
3颗粒粒度分布分维的计算
在对多种脆性材料以不同方式粉碎所形成的颗粒粒度分布进行统计分析后发现，同种物料或由不同物料组成的混合试样，在冲击粉碎方式下形成的颗粒，在一定尺寸范围内，其粒度分布均呈分形分布，并且在连续粉碎过程中分维不变。现列举一些实验数据及计算结果，见下列表图所示，其中分维值D及相关系数r由zui小二乘法求得。
4结果讨论与分维意义
4.1G-S分布均匀性系数的分形性质
从所列表中可以看出各相关系数均在1～0.99之间，强相关性说明材料粒度分布的分形特征是客观存在的。事实上，对于大多数脆性材料，实验表明，在冲击粉碎方式下形成的粒度分布，都呈Gaudin-Schumann分布[5]，而此分布本身就是分形分布。G-S分布可由一个简单幂律关系表示，即：
式中h为特征粒径(尺寸模量)，m是均匀性系数(分布模量)。比较式(l2)和式(15)，可得粒度分布分维：
D=3-m (16)
由此可知，m并非只是表示分布均匀程度的一般参数，同时它还是材料结构中缺陷分布不规则性的度量。同种材料试样，微观结构不同，其粉碎后形成粒度分布的m值也不同，其数值不但可以通过粒度分布的测量来确定，而且还可以通过材料结构的分形分析，由裂纹分布的分维D来得到。实验还发现，材料在连续粉碎过程中，m值保持常数[5]，即分维D不变，这也正好证明了前述论断的正确性。
4.2分维能表征粒度分布的结构特征
分形理论主要是研究不可积系统(即分形系统)的自相似性，分维则是描述这个系统的复杂、不规则程度。如将材料粉碎后所形成的颗粒全体作为一个系统，显然满足G-S分布的颗粒系就是一个不可积的分形系统，而粒度分布的分维值也就反映了该系统物质组成的结构特征。
由G-S分布的m值意义和实验分析数据可知，粒度分布的分维值能表征颗粒组成的集中、均匀特性。从表1，3中的计算结果看到，表示颗粒分布离散程度的变异系
利用Gamma函数
，其分维D也越小，说明两者之间存在着一定的对应关系。
作者对表中数据进行回归分析得
相关系数r为0.974。
因此粒度分布的分维值可以作为描述分布离散趋势的良好测定数，即分维值越小，分布的离散趋势越小，颗粒的均匀程度越好。
4.3分维D与材料脆断强度σc的关系
大多数材料的宏观力学性能与其内部细观结构密切相关，其中材料脆断强度σc就是一例。对不同的试样，即使严格控制试验条件，其σc值仍呈现出很大的分散性。这是材料本身结构中各种缺陷分布无序性的必然结果，故需用概率统计的方法来处理。现在越来越多的研究表明，脆性材料的损伤断裂是个分形，具有很好的统计自相似性，在此应用统计断裂力学的zui弱环原理，从理论上探讨材料脆断强度与裂纹分布或颗粒粒度分布分维之间的关系。
zui弱环原理：考虑由n个环组成的链。设每个环在应力为σ时的断裂慨率为F(σ)。假设zui弱环的断裂导致整条链的断裂，则应力为σ时整条链的断裂概率为：
假设：(l)材料是各向同性且统计均匀的；(2)zui危险裂纹的失稳扩展导致整个试样的断裂。若一条裂纹引发的断裂概率为F(σ)，含有n条裂纹试样的断裂概率Pf(σ)的由式(18)决定。
根据式(l)有裂纹尺寸的分布函数：
式中F(a)为裂纹尺寸小于a的数/裂纹总数。
裂纹密度函数为：
由于P=P，得一条裂纹在应力σ下引发断裂的概率为：
式中：Kc。为断裂韧度；对于平面应力状态,β=1；平面应变状态，，v为Poisson比，故：
试样在应力σ下的断裂概率：
取材料断裂强度σc为强度平均值，由概率论：
根据式(25)得：
由于P=P，得一条裂纹在应力σ下引发断裂的概率为：
其中ac为σ下的裂纹失稳扩展的临界尺寸。
脆性断裂临界应力为：
式中：Kc。为断裂韧度；对于平面应力状态,β=1；平面应变状态，，v为Poisson比，故：
试样在应力σ下的断裂概率：
取材料断裂强度σc为强度平均值，由概率论：
根据式(25)得：
利用Gamma函数
由式(28)可知，材料的脆断强度依赖于分维D，事实上，Kc也随D而变化，其关系尚待进一步研究，但实验表明，Kc随分维D的增大而增大。
4.4由粒度分布曲线外推估测级配
目前细颗粒的测量还存在着许多间题，特别是当粒径小于1μm时，从前面分析中可知，脆性材料在冲击粉碎方式下得到的粒度分布以双对数坐标表示时，一般成严格的直线关系，这一性质为细颗粒的估测和扩大分析仪器的测童范围提供了实用依据。即在标度不变范围内，从粒度分布细端外推曲线上的一个单点就能确定小于某一粒子尺寸颗粒的质量累积百分率。因此，只要颗粒粒度分布曲线的线性相关性好，就可以从曲线中确定或外推估测其级配。
5结论
综合上述分析，可得以下结论：
(1)由于脆性材料内部中的微缺陷分布和演化过程具有较好的统计自相似性，导致了材料在冲击粉碎方式下形成的颗粒，其粒度分布均表现出分形分布。分维D∈(1，3)是表征这种分布空间结构的参数，即D愈小，颗粒的均匀程度越好。
(2)G-S分布的均匀性系数m与分维D之间存在着确切关系，这说明，m并非只是表示分布的一般参数，同时还是材料结构中缺陷分布不规则性的度量，其数值不但可以通过粒度分析来测定，而且还可以方便地由几何途径来确定。
(3)材料的宏观力学性质强烈地依赖于其本身结构中缺陷分布的不规则程度，而这种不规则程度可由分形几何很好地定量描述。
(4)在一定标度范围内，由颗粒粒度分布曲线可以外推估测其级配，从而为细颗粒的测量提供了实用依据。
参考文献
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[2]董聪,何庆芝.微裂纹演化过程中分岔与混沌现象的描述及若干问题探讨.力学进展,1994;24(1):106
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[7]Mandelbrot B B. The fractal geometry of nature, W H Freeman Company, New York, 1983: 74～155
[8]Feder J. Fractals,Plenum Press, New York, 1988: 11～103
发表的时间：2000年04期
刊物名称：硅酸盐学报
页码 ：8页
